De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Re: Integreren met breuksplitsen

Hallo, ik moet hier een klein bewijs leveren dat als 'G=$<$g$>$' groep is en oneindig is, en cyclisch is, dat deze isomorf is met $\mathbf{Z}$

men definieerd een functie u: Z$\to$G
k$\to$g^k

ik heb al bewezen dat dit een homomorfisme is, en dat dit surjectief is: voor surjectief was ik niet 100% zeker

Voor alle 'x' element van G bestaat er een k element van Z met x = g^k (g is cyclisch) en dus is x=u(k) , hiervoor is de functie surjectief.

Voor de injectiviteit weet ik het niet zo goed, ik moet dus bewijzen dat U(x₁)=U(x₂) $\Rightarrow$ x₁=x₂

Hoe zou ik hieraan beginnnen? wan ik heb het gevoel dat ik iets met de kern van U moet doen.

Bedankt

Antwoord

Inderdaad, je moet bewijzen dat de kern uit alleen het punt 0 bestaat.
Stel k is niet 0 en stel u(k)=e. Dan kun je bewijzen dat u(n+k)=u(n) voor alle n en daaruit volgt dan dat G={e,g,g², ...,g^k-1}. Maar dan zou G eindig zijn ...
Je bewijs van de surjectiviteit is correct.

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Integreren
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	18-5-2024